حساب بی‌نهایت

نویسنده: توحید عبداللهی

ریاضیات بنیادی‌تر از آن است که بتوان نام علم بر آن نهاد. در واقع ریاضیات نام عامی برای بخشی از تفکر است که مربوط به اعداد می‌شود. مفهوم عدد و درک آن همزمان با تکامل گونه‌های مختلف طبیعی گسترش پیدا کرده است. با افزایش سلطۀ گونۀ انسان بر طبیعت، ادراک از اعداد نیز دگرگون شده است. زمانی بشرِ نخستین، شمردن را تا ۲ ادامه می داد و به هر تعداد بیشتر از دو می‌گفت «زیاد». موقعیتی را تصور کنید که بشر نخستین برای زنده ماندن نیاز به شکار کردن دارد و روزی یک شکار برای او کافی است. دو شکار بهتر است و بیشتر از دو برایش زیاد به شمار می‌رود. واضح است اعداد تا جایی پیش رفته‌اند که نوع بشر به آن نیازمند است. با پیشرفت زندگی بشرِ نخستین، شمردن تا ده (یا بیست، بسته به این که انگشتان پا را هم حساب کند یا نه) گسترش یافت و مفهومِ زیاد به تعدادی بیش از این مقدار اطلاق می‌شد. و به همین نحو مفهوم زیاد به سمت انتهای محور اعداد جابجا شده است. به راستی بشر هیچ‌گاه مثل بشر معاصر چنین جاه‌طلب نبوده است. اکنون برای اعدادی مثل 100¹⁰⁰ هم لغتی اختراع شده است (گوگل به همین معناست). ولی مفهومِ زیاد یا بسیار کمابیش ماهیت خود را حفظ کرده‌اند؛ البته پس از یک تغییر نام به بی‌نهایت.

بی‌نهایت در ریاضیات مفهوم مغالطه‌آمیزی است. در واقع دلیل بسیاری از بدفهمی‌ها در ریاضیات برمی‌گردد به درکی گسسته و ناپیوسته از اعداد. در باطن ما هنوز هم به اعداد صحیح علاقه‌مندتر هستیم و البته اعداد طبیعی را می‌پرستیم. چرا که طبیعت ما با ساختار گسسته اعداد طبیعی سازگارتر است و این نتیجۀ سال‌ها حضور و تکامل بشر در طبیعت است. نقل قول معروفی از لئوپولد کرونکر، ریاضیدان پروسی که مخالف سرسخت کارهای جدید جئورج کانتور در ریاضیات بود وجود دارد که چنین است: «خدا اعداد صحیح را آفریده است، باقی اعداد کار انسان است.»  با این حال قرن‌ها قبل از کرونکر گسترش مرزهای علم باعث شده بود تا ساختارهای پیوسته از اعداد نیز کشف و معرفی شوند. در ادامه به مفهوم پیوستگی در ساختار یا محور اعداد اشاره خواهد شد.

اجازه دهید کمی به عقب بازگردیم و در مورد بحران‌های اساسی که ریاضیات پشت سر گذاشته است بحثی کوتاه کنیم. در واقع سه بحران بسیار بزرگ در تاریخ ریاضی ثبت شده است. بحران اول برمی‌گردد به عصر یونان باستان. اعداد شناخته شده تا آن زمان به زبان امروزی مجموعه‌های اعداد طبیعی، اعداد صحیح و نسبت اعداد صحیح یا همان اعداد گویا بود. زمانی که فیثاغورس پی برد دسته‌ای دیگر از اعداد وجود دارند که به یک کسر تحویل‌ناپذیرند بسیار نگران شد. مساله از جذر عدد 2 شروع شد. بر خلاف اعداد گویا توالی ارقام ظاهر شده در این عدد تابع هیچ قانون و تناوبی نبود. فیثاغورث جرأت نداشت این کشف نامطبوع را فاش کند؛ چرا که این مسأله در آن زمان می‌توانست به قیمت جان او تمام شود. (نمی‌دانم آیا در مورد این مسأله انجمن سری اخوت تشکیل شد یا نه، ولی دلیلی بهتر از این برای تشکیل چنین انجمنی پیدا نمی‌شود!!) ولی به هر حال واقعیت خود را به ریاضیات تحمیل کرد. این اعداد غیرقابل پیش‌بینی را اعداد گنگ نامیدند و مجبور شدند وجود زشت آن‌ها را در کنار سایر اعداد تحمل کنند.

بحران دوم مربوط به حدود بیست قرن بعد بود. داستان‌سرایی‌ها در مورد لایبنیتز، نیوتن و کشف هم‌زمان این دو زیاد است. به هر حال کاری به این نبرد حق مالکیت اکتشاف نداریم. ولی کشفی که ارائه شد بسیار تکان‌دهنده بود: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال. با استفاده از مفهوم المان دیفرانسیلی، بسیاری از مسائل مهم روز در قالب این دو حساب حل و فصل می‌شد. هنوز هم وقتی با یک انتگرال‌گیریِ ساده مساحت زیر یک نمودار پیچیده را حساب می‌کنیم جادوی ریاضیات را حس می‌کنیم؛ که چگونه تعدادی المان دیفرانسیلی بی‌نهایت کوچک که مساحت تک تک آن‌ها صفر و ناچیز است در کنار هم می‌توانند سطحی را پوشش دهند. به هر حال، تحولی که در اثر حسابیدن در ریاضیات پدیدار شد بسیار بنیادی بود. پیرامون این مفاهیم جدید، شاخه‌های بسیاری در ریاضیات پدید آمد که بررسی آن‌ها خارج از حوصله این بحث است.

بحران سوم پس از ارائه‌ی نظریۀ مجموعه‌ها توسط جئورج کانتور در 1897 بروز کرد. پیش‌تر و در سال 1873، وقتی کانتور کار خود را در مورد نظریه‌ی مجموعه‌ها ارائه کرد، به دلیل مفید بودن مفهوم مجموعه در بخش اعظم ریاضیات به نظر می‌رسید پایه‌ی مستحکمی برای بنای ریاضیات پیدا شده است. نظریه‌ی مجموعه‌ها به عنوان مبانی و اساس رياضيات تلقی می‌شد به گونه‌ای که همه مفاهیم ریاضی اعم از اعداد، توابع و سایر موجودات ریاضی  بر اساس مجموعه‌ها تعاریف مناسب و مستدلی پیدا کرده بودند. موجودیت ریاضیاتی، از عدد به مجموعه تغییر ماهیت پیدا کرده بود و این رهیافت موجب آرامش خاطر فیلسوفان و ریاضی‌دانان در مورد این پرسش اساسی که «ماهیت مفاهیم و موجودات ریاضی چیست؟» شد. اما بحران وقتی بروز کرد که خود کانتور در حساب بی‌نهایت خود که بعداً به آن خواهیم پرداخت متوجه ناسازگاری شد. بحران در 1902 تشدید شد، زمانی که برتراند راسل پارادوکس معروف خود را ارائه کرد. یک دلیل منطقی بسیار موجه از طرف یک منطق‌دان بزرگ کابوس این نظریه بود. به دلیل سادگی و اهمیت پارادوکس راسل بد نیست بار دیگر آن را مرور کنیم؛ در واقع این پارادوکس هر گزاره‌ی خود-ارجاع را نشانه می‌گیرد. جملۀ «آن‌چه می‌گویم نادرست است» را چگونه درک می‌کنید؟ آیا استثنائاٌ راست می‌گویم؟ آیا نادرست است و من همیشه راستگو هستم؟ در حقیقت تا آن زمان مفهومی به نام مجموعۀ تمام مجموعه‌ها وجود داشت (واضح است که چرا کلیسا از این مفهوم در ریاضی بسیار خرسند بود). راسل با معرفی خاصیت عضو خود بودن برای این مجموعه، وجود آن را زیر سوال برد. اگر این مجموعه عضو خود باشد، پس مجموعه دیگری وجود دارد که بزرگ‌تر است؛ و اگر عضو خود نباشد، پس شامل تمام مجموعه‌های ممکن نیست. ترجمه‌های عامه‌پسند دیگری از این پارادوکس ارائه شده است. راسل مثال می‌آورد که: آرایشگری در یک دهکده اساس کار خود را بر این گزاره استوار کرده است که فقط صورت افرادی که صورت خود را نمی‌تراشند بتراشد، حال وضعیت خود-ارجاعیِ پارادوکسیکال وقتی بروز می‌کند که آرایشگر بخواهد صورت خود را بتراشد. آیا می‌تواند به اصل خود وفادار باشد و در عین حال صورت خود را بتراشد؟

ریاضی‌دانان دست به کار شدند؛ صورت‌های دیگری از این پارادوکس‌ها توسط دیگران عرضه شد که در نهایت هم‌ارز از آب در‌‌آمدند. راه فرار از این وضعیت این بود که نظریه‌ی مجموعه‌ها را بر پایۀ اصول موضوع با محدودیت‌های کافی بنا کرد و خواص طبیعی و ذاتی مجموعه‌ها را نادیده گرفت. در نتیجه با توسل به برداشت اصل موضوعی (که معروف‌ترین‌شان اصول موضوعه‌ی زرملو-فرانکل است) به جای برداشت شهودی و طبیعی از خواص مجموعه‌ها، ریاضیات از کنار این بحران گذشت (و البته کلیسا بسیار سرخورده شد: وجود خدا را که نمی‌شود اصل موضوعی ثابت کرد).

مقدمه، اندکی طولانی شد، ولی برای بحث دربارۀ مفهوم بی‌نهایت، لازم است تا مسائل مهم ریاضیات را در خاطر داشته باشیم. به ویژه نظریۀ مجموعه‌ها در بحثمان حائز اهمیت بسیاری است. در یک دسته‌بندی، می‌توان 4 دسته متفاوت از مجموعه‌ها را از هم متمایز کرد:

مجموعه‌های متناهی و شمارش‌پذیر، مثل مجموعه اعداد صحیح بین 2 و 8
مجموعه‌های نامتناهی و شمارش‌پذیر، مثل مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر از 11
مجموعه‌های متناهی و شمارش‌ناپذیر، مثل مجموعه اعداد حقیقی بین 2 و π
مجموعه‌های نامتناهی و شمارش‌ناپذیر، مثل مجموعه اعداد حقیقی کوچکتر از 0
از این به بعد، به جای شمارش‌پذیر از واژۀ شمارا و به جای شمارش‌ناپذیر از واژه ناشمارا استفاده می‌کنیم.

کانتور عدد اصلی یا کاردینال یک مجموعه را برای مقایسه بزرگی مجموعه ها معرفی کرد. برای مجموعه های متناهی و شمارا این عدد به سادگی برابر تعداد اعضای آن مجموعه است. برای مثال:

A={a, b, k, 5, 4}    =>   card(A) = 5

همان‌طور که اعداد حقیقی را می توان از نظر بزرگی با هم مقایسه کرد، کاردینال‌ها نیز قابل مقایسه‌اند. تساوی کاردینال دو مجموعه A و B وقتی حاصل می‌شود که به ازای هر عضو از مجموعه A یک عضو متناظر در B وجود داشته باشد. درک صحیح این تعریف بسیار مهم و کلیدی است (در واقع ریشه بدفهمی‌ها در مورد بی‌نهایت از همین‌جا سرچشمه می‌گیرد). برای مثال هر عضو از مجموعۀ اعداد طبیعی زوج با عضوی از مجموعۀ اعداد طبیعی فرد متناظر است. ممکن است بلافاصله این سوال به ذهن خطور کند که کاردینال مجموعۀ اعداد صحیح (که با Z نمایش داده می‌شود) که شامل مجموعۀ اعداد طبیعی، صفر و قرینۀ اعضای N است در مقایسه با کاردینال خود N چه وضعیتی پیدا می‌کند؟

N={1, 2, 3, 4, …}

Z={… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

مطابق با استدلالی که در جدول زیر ارائه شده است، چون به ازای هر عضو از مجموعۀ N می توان عضوی از Z را متناظر کرد، پس کاردینال این دو مجموعه با هم برابرند.

N		Z
1			0
2			+1
3			-1
4			+2
5			-2
. . .			. . .

 

مطلب قرار است عجیب‌تر هم بشود! حتی مجموعۀ اعداد گویا که شامل تمام کسرها و اعداد صحیح است (و با Q نمایش داده می‌شود) نیز با N هم توان است. هرگاه (Card(A)=Card(B باشد، یعنی تناظر یک‌به‌یکی میان اعضای مجموعه‌های A و B وجود داشته باشد؛ این دو مجموعه هم‌توان محسوب می‌شوند. کانتور یک برهان بسیار درخشان برای اثبات هم‌توانی اعداد گویا با اعداد طبیعی ارائه کرده است که طرح آن خارج از حوصله این متن است.

کانتور برای نمایش کاردینال مجموعۀ اعداد طبیعی از نخستین حرف الف عبری (א) با اندیس 0 استفاده کرد. یعنی:

Card(N) = א 0

(می‌خوانیم کاردینال N  برابر است با الف-صفر)

پس تا به حال نتیجه گرفته‌ایم:

Card(Q)=Card(Z) =Card(N) = א0

شاید ایرادی در ذهنتان شکل بگیرد که چرا علی‌رغم رشد سریعتر Q و Z باز هم N با این دو مجموعه هم‌توان است. پاسخ را در انتها درخواهیم یافت. پیش از آن لازم است در مورد کاردینال مجموعه‌های ناشمارا نیز آشنایی اندکی به دست آوریم. مثالی بررسی می‌کنیم که طی آن دو مجموعه‌ی متناهی ناشمارا و نامتناهی ناشمارا از نظر هم‌توانی مورد بررسی قرار می‌گیرد؛ این بررسی با ابزاری به نام تابع (tan(x صورت می‌گیرد. تابع تانژانت یک ویژگی بسیار جالب توجه دارد. همان‌طور که می‌دانید، نمودار آن در یک دوره تناوب مشخص تکرار می‌شود.

شاخه‌ای از نمودار تابع (tan(x که در بازه‌ی (۲/π/2 , π-) است را در نظر بگیرید؛ روی محور x، نمودار محدود به این بازه است، ولی روی محور y نمودار در بازه‌ی (∞+ , ∞-) و به صورت نامحدود در حال گسترش است. با در نظر گرفتن تمام نقاطی مثل (x , y) که بر نمودار واقع‌اند، یک نتیجۀ حیرت‌انگیز به دست می‌آید. به ازای هر نقطه از محور y که معادل تمام اعداد حقیقی است؛ یک نقطه روی بازه‌ی (۲/π/2 , π-) وجود دارد. برای هر نقطۀ دلخواه روی شاخۀ مورد نظر در نمودار، یک مختصات به صورت (x, y) بیان می‌شود که مؤلفه‌ی x مختصات در بازۀ(۲/π/2 , π-) و مؤلفۀ y آن در بازۀ(∞+ , ∞-) است. به عبارت دیگر، تابع تانژانت یک بازۀ محدود را به کل اعداد حقیقی متناظر می‌کند. هر گاه چنین تناظر یک‌به‌یکی بین اعضای دو مجموعه وجود داشته باشد، می‌توان گفت کاردینال آن‌ها با هم برابر و این دو مجموعه هم‌توان‌ است.

Card{ x є R | 2/π-< x < 2/π } = Card(R)

(بر خلاف یک قانون قدیمی فلسفی، جزء با کل برابری می‌کند!)

کاردینال مجموعه اعداد حقیقی (R) را با C نمایش می‌دهیم. Card(R)=C

 

حساب کاردینال‌ها

جمع جبری کاردینال‌ها بسیار متفاوت از جمع جبری اعداد است. وقتی بی‌نهایتی به دیگری افزوده می‌شود، نمی‌توان گفت حاصل دوبرابر بی‌نهایت است! چنین جمله‌ای فاقد معنی است. دو برابر، هزار برابر یا حتی بی‌نهایت برابر بی‌نهایت، باز هم بی‌نهایت است. روابط زیر در حساب کاردینال‌ها برقرارند که اثبات آن‌ها مستلزم بحث گسترده‌تری است و ما از آن چشم‌پوشی کرده و بدون اثبات می‌پذیریم:

0א + 0א = 0א
0א x 0א = 0א
C  +  C  =  C
C  x  C  =  C
0א + C =  C

از بین این روابط، توجه‌تان را به رابطۀ شماره 6 (رابطه‌ی آخر) جلب می‌کنم. در این رابطه، یک طرف بر حسب 0א و طرف دیگر برابر C است. رابطۀ بسیار مهمی ‌است که در ادامۀ بحث و در مهم‌ترین قضیه‌ای که کانتور ارائه و اثبات کرده است بیشتر وارد بحث‌مان خواهد شد.

 

مقایسه کاردینال‌ها

دو مجموعۀ زیر را در نظر بگیرید:

A={1, 3, 6, 7, 0}  و B={10, 20, 30}

مجموعه A دارای 5 عضو است؛ پس Card(A)=5 و مجموعۀ B دارای 3 عضو است و لذا Card(B)=3

پس می‌توان نوشت: (Card(A) > Card(B

‌مجموعه‌های بالا متناهی و شمارا هستند. در سطور بالا مقایسه‌هایی از این دست در دسته‌بندی‌های مختلف مجموعه‌ها صورت گرفته است. مثلا در مورد مجموعه‌های نامتناهی و شمارا که تعداد اعضای آن‌ها بی‌نهایت است نتیجه گرفتیم که:

Card(Q)=Card(Z) =Card(N) = 

و در مورد ناشمارا‌ها نتیجه زیر را اثبات کردیم:

Card{ x є R | -π/۲ < x < π/۲ } = Card(R) = C

حال مسأله این است که آیا می‌توان 0א و C را با هم مقایسه کنیم؟ هر دو بی‌نهایت‌اند، اگر چه از یک جنس نیستند، 0א مربوط به اعدادی گسسته از هم و C تعداد اعضای یک مجموعۀ پیوسته است. اگر مجازیم آن‌ها را با هم مقایسه کنیم کدام‌ بی‌نهایت بزرگ‌تری است؟ آیا اساساً می‌توان لفظ بی‌نهایت بزرگ‌تر را به کار برد؟

ثابت شده است که تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه n عضوی (با احتساب خود مجموعه و مجموعه بدون عضو یا تهی که زیر مجموعۀ تمام مجموعه‌هاست) برابر است با 2n .مثلاً برای مجموعۀ {B={10, 20, 30 تعداد کل زیر مجموعه‌ها برابر است با 2³=8. این زیر مجموعه‌ها عبارت‌اند از:

B1 = {10, 20, 30} B2 = {10, 20}

B3 = {10, 30} B4 = {20, 30}

B5 = {10} B6 = {20}

B7 = {30} B8 = {  }

اگر بخواهیم تعداد کل زیرمجموعه‌های مجموعه اعداد طبیعی (N) را محاسبه کنیم؛ از آنجا که تعداد اعضای N برابر با 0א است، پس تعداد این زیر مجموعه‌ها برابر‌خواهد بود با . (بد نیست تعدادی از این زیرمجموعه‌ها را در ذهن تصور کنیم!) و طبق رابطه 6 که در بالا هم اشاره شد: .

0א  و C هر دو از جنس بی‌نهایت هستند. ادعای بزرگ کانتور اینجا شکل می‌گیرد؛ می‌توان بی‌نهایت‌ها را با هم مقایسه کرد؛ و ثابت می‌کند C بزرگ‌تر از 0א است. یعنی . و چون  است پس می‌توان نوشت:

به طریقی مشابه کانتور ادعا و ثابت کرد که تعداد زیرمجموعه‌های مجموعۀ R بزرگتر از کاردینال R است. یعنی:

C  <  2^C 

و اگر به جای  C معادل آن یعنی  را بنویسیم؛

کار کانتور به این جا ختم نمی‌شود. با این که همین رابطه که بیان می‌کند بی‌نهایت‌ها با هم قابل مقایسه‌اند در تاریخ ریاضی بسیار جنجالی بود، کانتور ثابت کرد این سلسله مراتب خود تا بی‌نهایت ادامه دارد. یعنی این رابطه تا بی‌نهایت می‌تواند نوشته شود:

رابطۀ اخیر بدین معنی است که نه تنها بی‌نهایت بی‌نهایت وجود دارد، بلکه این تعداد بی‌نهایت دارای سلسله مراتبی‌ هستند. تصور انتهای این رابطه دیوانه‌کننده است!

اجازه دهید ساده‌ترین بخش این نامساوی متسلسل را جدا کنیم و بیشتر در مورد آن بحث کنیم، بدین تر‌تیب کلیدی برای درک بهتر این رابطه به دست خواهیم آورد. چرا بی‌نهایتی که مربوط به تعداد اعداد حقیقی‌ است بزرگتر از  بی‌نهایتی است که به تعداد اعداد طبیعی نسبت داده می‌شود؟

برمی‌گردیم به مفهوم پیوستگی در اعداد حقیقی و تفاوت ماهوی آن با توالی گسسته در اعداد طبیعی. ما با استفاده از تابع (tan(x نشان دادیم که یک محدوده (بازه) از اعداد حقیقی به طول π با کل اعداد حقیقی هم‌توان است. از طرفی می‌توان نشان داد تمامی بازه‌ها با هر طول دلخواه با هم هم‌توان هستند، برای مثال نمودار روبه‌رو بازۀ (۲/π/2 , π-) را در تناظر یک‌به‌یک با بازۀ (0 , 1) قرار می‌دهد.

از طرفی بازۀ (۲/π/2 , π-) به واسطه تابع تانژانت در تناظر یک به یک با کل اعداد حقیقی‌ است. پس این ادعا که بازه (0 , 1) با کل R در تناظر یک به یک است ادعای صحیحی است. واقعیت این است که هر چقدر هم این بازه را کوچک‌تر کنیم باز هم کاردینال آن با C برابر خواهد بود. حتی اگر این بازۀ کوچک، بازه‌ای مثل (0 , 0.00001) باشد، باز هم کاردینال آن C و با کل R هم‌توان است. علت این هم‌توانی را باید در پیوستگی در اعداد حقیقی جستجو کنیم.

برای شروع یک مقایسه‌ی ساده بین دو عدد انجام می‌دهیم: عدد 1 در مقایسه با عدد  چه وضعیتی دارد؟ (عدد اخیر به معنی تعداد نامحدودی 9 بعد از ممیز است. اصطلاحاً می‌گوییم 9 در دوره گردش است. به زبان ساده‌تر . اغلب اوقات افرادی که در مواجهه با این مساله‌ی ساده ریاضی قرار می‌گیرند بلافاصله بیان می‌کنند که عدد 1 بزرگتر از  است. واقعیت این است که این دو عدد بیان‌های مختلفی از یک چیز واحد هستند. اما کافی است یکی از 9 های بعد از ممیز با ارقام دیگری عوض شود تا عدد متفاوتی حاصل شود. در واقع تعداد جایگشت‌های ممکن ارقام غیر از 9 برای همین یک عدد با تعداد اعداد طبیعی برابری می‌کند. و این در حالی است که با بیشمار عدد بین 0 و 1 مواجهیم و هر کدام وضعیتی مشابه دارد.

حساب بی‌نهایت‌ها به کلی متفاوت با کلیشه‌ای از حساب است که ما در ذهن داریم. به همین دلیل در زمان ارائه توسط کانتور، پوانکاره، هیلبرت و …، این موضوعات توسط ریاضیدانان بسیاری مورد مخالفت قرار گرفت و زمان زیادی طول کشید تا نظریه‌ی مجموعه‌ها و مباحث نوین آن جایگاه خود را در ساختار ریاضیات پیدا کنند. اکنون ریاضیات چنان وسعتی پیدا کرده است که تسلط بر تمام شاخه‌های آن از عهدۀ ریاضی‌دانان خارج است. بخش زیادی از این گسترش وام‌دار جایگزینی عدد با مجموعه در ساختار ریاضیات است.